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Preuve géométrique de l'existence de √ Soit un réel positif quelconque, fixé au départ. Si x = 0, alors comme le réel dont le carré est nul ne peut être que nul, il vient que le nombre √0 existe et est égal à 0. Supposons désormais x > 0 et montrons, géométriquement, qu'il existe un nombre positif dont le carré est égal à x (nombre que nous appellerons donc √x). Pour cela, considérons la droite des réels, représentée par l'axe des abscisses, avec trois points: A d'abscisse -1, O d'abscisse 0 et B d'abscisse x. On trace le demi-cercle au-dessus de l'axe des abscisses, de diamètre [AB]. Et on appelle M le point d'intersection de ce demi-cercle avec l'axe des ordonnées (voir figure ci-dessous). 3 M k h O 0 1. Soit h = OM la longueur de la hauteur de AMB issue de M. Exprimez MA2 et MB2 en fonction de 1, x et h. 2. Exprimez AB en fonction de 1 et x. 3. Justifiez que AMB est un triangle rectangle en M (vous avez normalement appris un théo- rème reliant triangle rectangle et demi-cercle au collège, il s'agit donc ici de l'énoncer claire- ment; si vous ne le connaissez pas, vous admettrez dans la question suivante que AMB est nécessairement un triangle rectangle en M). 4. En utilisant ce qui précède, montrez que h² = x. 5. Concluez quant à l'existence du nombre √x.
