Un joueur participe à un jeu composé de plusieurs manches qui se succèdent.
La probabilité que le joueur gagne la première manche est de 4/5
Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
• s'il gagne une manche, alors il gagne la manche suivante avec une probabilité de 19/20
• s'il perd une manche, alors il perd la manche suivante avec une probabilité de 1/10

On note:
G₁ l'événement « le joueur gagne la première manche » ;
G₂ l'événement « le joueur gagne la deuxième manche » ;
G3 l'événement « le joueur gagne la troisième manche ».
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le joueur gagne lors des trois premières manches.
1.a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b) Calculer l'espérance de la variable aléatoire X et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
c) Quelle est la probabilité qu'un joueur gagne au moins une manche sur les trois premières ?
d) Un joueur a gagné la deuxième manche. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
2. Pour tout entier naturel n non nul, on note G₁ l'événement : « le joueur gagne la n-ième manche », Gn
l'événement contraire de Gn, et pn la probabilité de l'événement Gn.
a) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des événements G₁ Gn+1 et GnnGn+1 en
fonction de Pn.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, Pn+1 =
c) La suite (Pn) est-elle arithmétique ? Géométrique?
d) Étudier le sens de variation de la suite (Pn).

= Pn+1= 1/20pn+9/10

3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n non nul, par un = Pn - 19
a) Quelle est la nature de la suite (un)?
b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression de pn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (Pn) lorsque n tend vers +0o. Interpréter ce résultat dans le contexte de
l'exercice.