Problème I (sans formules)

Une personne souhaite louer un appartement à partir du 1er janvier 2021.
Elle a le choix entre deux formules de contrat.
Dans les deux cas le loyer annuel initial payé lors de la première année est 4800 €
Le locataire a l'intention d'occuper l'appartement pendant plusieurs années.

1°) Contrat n°1 suite des loyers (vn) avec v₁=4800
Le locataire accepte chaque année une augmentation de 300 € du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer annuel v₂ payé lors de la 2ème année

b) Calculer le loyer annuel v3 payé lors de la 3ème année

c) Déterminer le loyer annuel payé lors de la 10ème année.

d) Donner l'expression de vn+1 en fonction du loyer précédent vn et essayer de
donner l'expression explicite de vn en fonction du loyer de départ 4800 et de n

2°) Contrat n°2 suite des loyers (un) avec u₁=4800
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l'année précédente.

a) Calculer le loyer annuel u₂ payé lors de la 2ème année.

b) Calculer le loyer annuel u3 payé lors de la 3ème année.

c) Déterminer le loyer annuel payé lors de la 10ème année.

d) Donner l'expression de un+1 en fonction du loyer précédent un

3°) Utiliser votre calculatrice pour savoir à partir de combien d'année le loyer annuel du contrat n°1 devient moins cher que le loyer annuel payé avec le contrat n° 2

4) Il est en réalité plus intéressant de regarder la somme versée sur plusieurs années
En comparant les sommes payées en 10 ans avec le contrat n°1 ou avec le contrat n°2, quel contrat doit choisir le locataire s'il décide de rester 10 ans dans l'appartement ?


Problème II

Un nombre entier naturel non premier est dit « composé ».
Par exemple 15 est un nombre composé (il possède quatre diviseurs qui sont : 1 ;3;5 et 15)
Tout nombre composé m peut s'écrire sous la forme m= a*b où a et b sont des entiers différents de 1. Par exemple 15=3x5
Le but de ce problème est de savoir si les nombres suivants sont composés ou non :
A(n)= n^4-20n² + 4 pour n ≥ 5
B(n) = n^4+ 64

Partie A: On va monter que tout nombre de la forme n^4 - 20n² +4 pour n ≥ 5 est composé.

1- Calculer A(n) pour n = 5; n= 6; n=7 et n=8

2- On considère la fonction polynôme A, définie pour x ∈ ℝ, par : A(x)=x²-20x²+4
Vérifier que A(x)=(x²-2)²-16x².

3- En déduire que A(x)=P(x)*Q(x) où P et Q sont des fonctions polynômes de degré 2 à
déterminer.

4- Démontrer que les équations P(x)=1 et Q(x)=1 n'ont pas de solutions entières.

5- Conclure

Partie B: On va démonter que tout nombre de la forme n^4 + 64 est composé.

1- Calculer B(n) pour n= 0; 1; 2 et 3. Obtient-t-on des nombres premiers ?

2- On considère la fonction polynôme B définie pour x ∈ ℝ par B(x)=x² +64
Vérifier que B(x) = (x² + 4x + 8)(x² - 4x + 8)
3- En vous inspirant de la démarche de la partie A, prouver le résultat annoncé.