Exercice 1- À la recherche de nombres premiers
Pour tout nombre entier naturel n ≥ 5, on considère les entiers naturels an définis par :
an = n puissance 4 - 20n² +4
Partie A On conjecture
1. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, donner la liste des nombres an pour 5 ≤ n ≤
20.
2. Faire une recherche sur la notion de nombres premiers (définition, propriétés, aspects
historiques, etc.). Parmi les nombres de la liste précédente, y a-il des nombres premiers?
Justifier.
3. Quelle conjecture peut-on faire sur les nombres an? Justifier
Partie B Démonstration
On note f la fonction définie sur R par f(x) = x puissance 4- 20x² + 4
1. Montrer que pour tout réel x:
f(x) = (x² - 2)² - 16x²
2. En déduire que pour tout réel x, f(x) = P(x) x Q(x) où P et Q sont deux fonctions
polynômes du second degré.
3. Les équations P(x) = 1 et Q(x) = 1 admettent-elles des solutions entières ?
4. Démontrer la conjecture formulée à la question 3 de la partie A.