On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [1:25] par: f(x) = 10-
Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :
f(x):10-c (0.2x + 1)/x
factoriser(deriver(f(x))
3.
02x+1
* V
*exp(0.2x+1)
exp(0.2x+1)-(1-0.2x)
1. Retrouver par le calcul l'expression factorisée de f'(x) où f' est la fonction dérivée de f.
2.
Etudier le signe de f' sur l'intervalle [1; 25] et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [1; 25]. On
arrondira les valeurs au millième.
On s'intéresse à l'équation f(x) = 0.
a. Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution sur l'intervalle [1;5].
b. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a sur l'intervalle [5; 25).
C. Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de la solution a.
PARTIE B
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros) correspondant
à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments. On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction
f étudiée dans la partie A ci-dessus.
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x 2 1. Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.
Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?
Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
1.
2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.