Soit la suite (un) définie sur N par uo = 2 et, pour tout entier naturel n,
Un+1 = 2/3Un +1/3n + 1
► 1. a) Calculer u₁, U2, U3 et u4.
On pourra en donner des valeurs approchées à 10-2 près.
On écrira les détails des calculs.
► b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
►2. a) Montrer par récurrence que pour tout n EN, un sn +3.
b) Montrer que, pour tout n E N,

Un+1 - Un = 1/3 (n + 3 - Un)
c) En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (vn) la suite définie sur N par vn = Un-n.
a) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire une expression de un en fonction de n, pour tout n E N.