Fonctions exponentielles de base a et prolifération de micro-organismes dans le gazole
Des bactéries, champignons et levures sont présents dans tous les produits pétroliers.
Dans les régions chaudes telles que les Antilles, la prolifération des bactéries dans le gazole est courante.
Ces micro-organismes se développent dans l'eau produite dans les réservoirs essentiellement par la condensation.
On considère un échantillon de gazole comprenant initialement 200 bactéries par millilitres (mL). Des études
expérimentales montrent que le nombre de bactéries par mL augmente régulièrement de 15 % par heure.
1. Calculer le nombre de bactéries par mL contenues dans l'échantillon au bout d'une heure.
On s'intéresse à cette évolution sur les 10 premières heures et on note f la fonction qui modélise le nombre de
bactéries par mL en fonction du temps t (en heures) mesuré à partir de l'instant initial.
Ainsi f(0) = 200.
On admet que, pour tout réel t de l'intervalle [0; 10], on a : f(t) = 200 x 1,15⁰.
2.
a. Déterminer le sens de variation de la fonction g définie par : g(t) = 1,15t sur [0; 10].
Justifier la réponse.
b. Justifier que f et g ont le même sens de variation sur [0; 10] et en déduire les variations de f.
3. Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de 4 h 30 min. Arrondir le résultat à l'unité.
4. On a représenté la courbe Cf représentative de la fonction f sur l'intervalle [7;10].
Compléter la partie de la courbe C, sur l'intervalle [0 ; 7]. Justifier.
800
700
800
500
400
300
200
100
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Déterminer graphiquement au bout de combien de temps il sera risqué d'utiliser ce gazole.
Arrondir le résultat à la demi-heure la plus proche.
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5. On admet qu'il n'y a aucun risque d'utilisation de ce gazole tant que le nombre de bactéries par mL reste limité à
moins de 500 unités par mL.