Soit f une fonction définie et dérivable sur un inter-
valle I et telle que f' ne s'annule pas sur I. On note C,
sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On
admet que l'équation f(x)=0 admet une unique solu-
tion a sur I dont on cherche à déterminer une approxi-
mation. Soit x, un nombre réel de I.
Pour tout entier naturel n, x, est l'abscisse du point
d'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente à
C, au point d'abscisse x,
01 x₂
1. Montrer que, pour tout entier naturel n:
f'(x)
2. Soit la fonction définie sur 10; +[ par
f(x)=x²-2. On pose x, = 2.
a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
b. Soit g la fonction définie sur 10; +[ par
g(x)=x2+2. Étudier les variations de la fonction g.
c. Montrer par récurrence que, pour tout neN,
√2 d. En déduire que la suite (x,,) converge vers un réel (.
e. On admet que ( vérifie (=²+2. Déterminer .
20
3. Soit la fonction définie sur [1; +∞[ par
f(x)=x²-x-1. On pose x = 2.
a. Résoudre l'équation x²-x-1=0.
On note la solution positive de cette équation.
b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
x²+1
X+1=2x-1
c. Soit g la fonction définie sur [1; +[ par
g(x)=1. Étudier les variations de la fonction g.
d. Montrer par récurrence que, pour tout neN,
e. En déduire que la suite (x,,) converge vers un réel l.
(²+1
f. On admet que vérifie (=20-1- Montrer que l = D.