Bonjour j’ai un dm à faire et je comprend pas la question 2a et 4
La suite (un) est définie sur N par uo = 2 et un+1 1
Vous remarquerez que un+1 = f(un).
2. (a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, √2
(aide: utilisez la fonction f)
(b) Déduisez-en que (un) est convergente.
3. Question pas facile : démontrez que pour tout n de N ona: Un+1-√2<
-√2(un-√2).
4. Déduisez-en, par récurrence, que pour tout n de N: 0 < un-√2< (uo-√2).
5. Déduisez-en la limite de la suite (un).
On vient de prouver que le nombre irrationnel √2 est la limite d'une suite de nombres rationnels.