48 en épidémiologie
Le modèle « SIR»>
On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu
de la population peut être dans l'un des trois états suivants: état S susceptible d'être atteint par le virus; état I
infecté par le virus; état R rétabli et ne pouvant plus être infecté par le virus.
Un individu est dans l'état R lorsqu'il a été vacciné ou lorsqu'il a guéri après avoir été infecté par le virus.
Pour tout entier naturel a, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes:
Parmi les individus à l'état S une semaine donnée, 85 % restent à cet état la semaine suivante, 5 % deviennent
malades et 10 % sont rétablis
Parmi les individus infectés (à l'état 1) une semaine donnée, 65 % restent malades et 35 % sont rétablis
Tout individu rétabli une semaine donnée l'est également la semaine suivante.
On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants:
S, l'individu est à l'état 5 en semaine n», I,
l'individu est à l'état I en semaine n» et R.: l'individu est
à l'état Ren semaine ». En semaine 0, tous les individus sont à l'état S, ainsi P(S)-1. P(lo)-P(Ro)-0. On
note, pour tout entier naturel n, n,P(S). v, - P(1.) et w, -P(R₂).
Partle A Evolution ou cours des deux premières
semaines
1. Construire un arbre de probabilité modélisant la
situation pour les deux premières semaines.
2. Montrer que P(R₂)-0,2025.
3. Calculer et interpréter A, (1₁). Arrondir ou millième.
Partie B Evolution sur le long terme
1. Justifier que, pour tout
entier naturel n, on a:
4₂ +1₂ + ₂ =1
2. a. Compléter l'arbre de
probabilité ci-contre
b. Justifier que, pour tout
entier naturel n, on a:
-0,85,
0.65 0.05
3. a. À l'aide d'un tableur, calculer et représenter les
termes de ces trois suites pour les 20 premières semaines.
b. On admet que les termes de la suite v augmentent
puis diminuent à partir d'un certain rang N appelé
pic épidémique ». En utilisant la feuille de tableur
précédente, déterminer le pic épidémique.
W
Info
Le pic épidémique est l'indice de la semaine pendant
laquelle la probabilité d'être malade pour un individu
choisi au hasard est la plus grande.
4. a. Quelle est la nature de la suite u ? En déduire
l'expression de u, en fonction de n.
On admettra dans la suite que, pour tout entier naturel
n, on a: v, -0,25(0,85* -0,65*).
b. Calculer les limites des suites u, vet w.
Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épi-