Pour financer l'achat d'une voiture, un couple emprunte un capital de 20 000 €, avec des mensualités de remboursement constantes égales à 500 €
Sa banque lui propose un taux annuel d'emprunt de 3,84 % , soit un taux mensuel de 0,32 %.
Chaque mois, la mensualité de 500 € se répartit entre des intérêts (0,32 % du capital restant d0 en début de mois) et un remboursement du capital.
Partie A Étude à l'aide d'un tableur
On souhaite mettre en place la feuille de calcul suivante pour construire le tableau d'amortissement de la dette, qui donne chaque mois le capital restant dû.
A
8
D
E
Nombre de mois Capital restant
Capital restant
depuis le début du en début de Intérêts Mensualité dO en fin de
période
de Pemprunt
pèrode
20 000,00 €
500,00 €
500,00 €
3
500,00 €
1. Justifier que les intérêts du premier mois s'élèvent à 64 € et que le capital restant do à l'issue du premier mois est égal à 19 564 €
2. Calculer les intérêts du 2° mois et le capital restant dû à l'issue de deux mois de remboursement.
Amortissement d'une dette
3. Proposer des formules à entrer dans les cellules C2, E2 et B3, à recopier vers le bas, de façon à construire le tableau d'amortissement.
4, a. Après combien de mois sera remboursé le prêt ?
Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
b. A l'aide du tableur, calculer le coût du prêt, c'est-à-dire le montant que le couple verse à sa banque en plus du montant emprunté. Quelle proportion du montant emprunté celui-ci représente-il ?
Partie B Étude à l'aide d'une suite
Pour tout entier # 20, on note C, le capital restant du à la fin du n-ième mois de remboursement du prêt et /, les intérêts du n-ième mois de remboursement.
Ainsi Co = 20000 : C = 19564; % = 0 et / = 64.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :
C,+1 = 1,0032xC-500
2. a. Montrer que la suite (M,) définie sur N par
4, = C. - 156250 est géométrique. Préciser sa raison.
b. En déduire l'expression de C. en fonction de 11.
c. À l'aide de la calculatrice, résoudre dans N l'inéquation C, = 0. Interpréter le résultat obtenu.
3. a. Justifier que, pour tout entier n =1, on a :
1, = 0,0032x C7-1
b. En déduire que, pour tout entier n =1:
1, =500-436×1,0032-1
4. Calculer la somme 44+12 + ..+ /44. Interpréter le résultat obtenu.