Pouvez vous m'aider svp
Exercice 1


Soit une application continue f : [0,1] → [0,1]. Pour tout n ∈ N∗, on note fn la fonction obtenue en composant n fois la fonction f avec elle-mˆeme.
0. Montrer que si f est monotone, alors pour tout x ∈ [0,1], la suite (fn(x))n a au plus deux valeurs d’adh ́erence.
On suppose dor ́enavant que f (x) = 4x(1 − x). Nous allons montrer qu’il existe une partie Gδ-dense G de [0,1] telle que pour tout x ∈ G et tout y ∈ [0,1], y est valeur d’adh ́erence de la suite (fn(x))n.
1. Soit (xn)n une suite de [0,1]. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh ́erence de (xn)n est [0, 1] si et seulement si {xn/ n ∈ N} est dense dans [0, 1].
2. Soient un espace m ́etrique complet X et pour tout n ∈ N, une ap- plication continue Tn : X → X. On suppose que pour tout ouverts non-videsU etV deX,ilexisten∈N,telqueTn(U)∩V ̸=∅.
(a) Montrer que si (Om,m ∈ N) est une base d’ouverts de X, alors G:=∩ ∪ T−1(O )estunG -densedeX.
m∈Nn∈Nn m δ
(b) Montrer que pour tout x ∈ G d ́efini comme ci-dessus, {Tn(x)/ n ∈
N} est dense dans X.
3. Soit S1 = {z ∈ C/ |z| = 1} le cercle unit ́e muni de la topologie de sous- espace de C. Soient les applications g : S1 → S1 et h : S1 → [0,1] donn ́eesparg(z)=z2 eth(eiθ)=sin2θ. Onadmetquef◦h=h◦g.
(a) Montrer que pour tout ouvert non-vide U de S1, il existe n ∈ N tel que gn(U) = S1.
(b) Montrer que pour tout ouvert non-vide V de [0, 1], il existe n ∈ N tel que f n (V ) = [0, 1].
4. Conclure.