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Réponse :
Base B : {(1, 0, -1, -1/2), (0, 1, -1, -1)}
Dim E = card B = 2
Explications étape par étape :
Tout d'abord, on peut prévoir la dimension du sous espace vectoriel.
En effet, nous sommes dans R4 et ce sev E est défini par 2 équations, il devrait donc être de dimension 2.
Essayons de confirmer cette hypothèse :
L'objectif quand on a les équations d'un sev c'est de faire apparaître des vecteurs uniquement avec des nombres. Pour cela il suffit de manipuler les 2 équations. Ici, on a 2 équations, on va donc essayer de remplacer 2 variables que l'on va choisir comme étant z et t (on part de la fin). On devrait donc obtenir un vecteur (x,y,z=f(x,y), t=f(x,y)).
E = {(x,y,z,t) €R^4 : x+y+z=0 et y-z+2t=0}
E = (x,y,z,t) €R^4 : z=-x-y et 2t=z-y} On a déjà à cette étape réussi à trouver l'expression de z en fonction des 2 premières variables, on peut donc remplacer cette expression dans tout l'ensemble.
E = {(x,y,-x-y,t) €R^4 : 2t=-x-2y} Ce remplacement nous permet de déterminer l'expression de t en fonction de x, y qui est t = -1/2 x - y
En remplaçant le tout, on obtient :
E = {(x,y,-x-y,-1/2 x - y) avec x,y €R}
Ainsi tout le sev E est exprimé en fonction de x,y. On peut donc le décomposer en 2 vecteurs :
E = {(x,0,-x,-1/2 x) + (0, y, -y, -y) avec x,y €R}
= {x(1,0,-1,-1/2) + y(0, 1, -1, -1) avec x,y €R}
On trouve que E est une combinaison linéaire (multiple et somme de vecteurs en fonction des coordonnées).
Ainsi, on a directement la base B = {(1, 0, -1, -1/2), (0, 1, -1, -1)} (composée de 2 vecteurs avec uniquement des nombres).
La base est donc bien composée de 2 vecteurs (comme on l'avait prédit) et donc son cardinal qui est le nombre d'élément qui la compose vaut 2 et est égal à la dimension du sev. AInsi, on a Dim E = 2.
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