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Sagot :
Bonjour,
Résoudre les équations du premier degré :
1.
(8x - 1)² - (6x + 3)² = 0
>> Identité remarquable :
a² - b² = (a - b)(a + b)
(8x - 1 - (6x + 3))(8x - 1 + (6x + 3)) = 0
(8x - 1 - 6x - 3)(8x - 1 + 6x + 3) = 0
(2x - 4)(14x + 2) = 0
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> soit 2x - 4 = 0
2x = 4
x = 4/2 = 2
>> Soit 14x + 2 = 0
14x = -2
x = -2/14 = -1/7
S={ -1/7 ; 2 }
Tu aurais pu également faire la chose suivante:
(2x - 4)(14x + 2) = 2(x - 2)2(7x + 1)
= 4(x - 2)(7x + 1)
(2x - 4)(14x + 2) = 0 <<>> 4(x - 2)(7x + 1) = 0
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> Soit x - 2 = 0
x = 2
>> Soit 7x + 1 = 0
7x = -1
x = -1/7
S={ -1/7 ; 2 }
>>>>> Tu obtiens le même résultat ☺️ ✅
2.
5 - 4(x + 1) = -(-x + 3)
5 - (4*x + 4*1) = -(-x + 3)
5 - 4x - 4 = -(-x + 3)
-4x + 1 = -(-x + 3)
-4x + 1 = x - 3
-4x + 1 - 1 = x - 3 - 1
-4x = x - 4
-4x - x = x - 4 - x
-5x = -4
5x = 4
x = 4/5 = 0,8
S={ 0,8 }
✅
3.
(x + 1)² = -9
>> L'équation n'admet aucune solution réelle.
S={ ∅ }
Pourquoi?
Tout simplement puisque n'importe nombre élevé au carré donne un nombre positif.
(∀x ∈ R , (x + 1)² > 0
Lire : Pour tout x appartenant aux réels,
(x + 1)² est toujours positif)
✅
Admettons que ton/ta prof se soit trompé(e) et voulait en réalité te donner l'équation suivante:
(x + 1)² = 9
(x + 1)² - 9 = 9 - 9
(x + 1)² - 9 = 0
(x + 1)² - 3² = 0
>> identité remarquable :
a² - b² = (a + b)(a - b)
(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = 0
(x - 2)(x + 4) = 0
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> Soit x - 2 = 0
x = 2
>> Soit x + 4 = 0
x = -4
S={ -4 ; 2 }
✅
4.
(1/4)x - 7/3 = 1/2(-x + 2)
x/4 - 7/3 = -x/2 + 1
x/4 - 7/3 + x/2 = -x/2 + 1 + x/2
x/4 - 7/3 + x/2 = 1
x/4 - 7/3 + 2x/4 = 1
3x/4 - 7/3 = 1
3x/4 - 7/3 + 7/3 = 1 + 7/3
3x/4 = 3/3 + 7/3
3x/4 = 10/3
4(3x/4) = 4(10/3)
3x = 40/3
x = (40/3)/3 = 40/3 x 1/3
= 40/9
S={ 40/9 }
✅
Pour rappel:
(a/b) / (c/d) = (a/b) x (d/c)
Ici, on a:
(a/b) / c = (a/b) / (c/1) = (a/b) x (1/c)
5.
121 - (2 + x)² = 0
11² - (2 + x)² = 0
>> identité remarquable :
- a² - b² = (a - b)(a + b)
(11 - (2 + x))(11 + (2 + x)) = 0
(11 - 2 - x)(11 + 2 + x) = 0
(-x + 9)(x + 13) = 0
Équation produit nul: Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> Soit -x + 9 = 0
-x = -9
x = 9
>> Soit x + 13 = 0
x = -13
S={ -13 ; 9 }
✅
6.
2(x + 6)² = 8
(x + 6)² = 8/2
(x + 6)² = 4
(x + 6)² - 4 = 0
(x + 6)² - 2² = 0
>> identité remarquable :
- a² - b² = (a - b)(a + b)
(x + 6 - 2)(x + 6 + 2) = 0
(x + 4)(x + 8) = 0
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> Soit x + 4 = 0
x = -4
>> Soit x + 8 = 0
x = -8
S={ -8 ; -4 }
✅
BONUS :
1. (3x + 2)(4x - 1) + 9x² + 12x + 4 = 0
>> Qu'est-ce qu'on remarque??
- 9x² + 12x + 4 peut être factorisé par
(3x + 2)²
Pourquoi ?
9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2*3x*2 + 2²
>> identité remarquable :
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
(3x + 2)(4x - 1) + (3x + 2)²
>> On factorise en faisant apparaître le facteur commun:
(3x + 2)(4x - 1) + (3x + 2)(3x + 2) = 0
(3x + 2)(4x - 1 + (3x + 2)) = 0
(3x + 2)(4x - 1 + 3x + 2) = 0
(3x + 2)(7x + 1) = 0
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
>> Soit 3x + 2 = 0
3x = -2
x = -2/3
>> Soit 7x + 1 = 0
7x = -1
x = -1/7
S={ -1/7 ; -2/3 }
✅
2.
4x³ = x²
4x³ - x² = x² - x²
4x³ - x² = 0
x²*4x - x²*1 = 0
x²(4x - 1) = 0
Équation produit nul: Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. (Tu commences à le savoir ça ;) )
>> Soit x² = 0
x = √0
x = 0
>> Soit 4x - 1 = 0
4x = 1
x = 1/4 = 0,25
S={ 0 ; 0,25 }
✅
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* = multiplication
En espérant que mes explications soient claires ;)
Bonne journée.
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