Réponse :
1.1 a) calculer les coordonnées du point I, milieu du segment (AB)
I((3-1)/2 ; (1+3)/2) = I(1 ; 2)
b) en déduire une équation cartésienne de la médiane Δc issue du point C
soit M(x ; y) ∈ Δc tel que les vecteurs CM et CI soient colinéaires
⇔ XY' - X'Y = 0
vec(CM) = (x - 5 ; y - 4)
vec(CI) = (- 4 ; - 2)
- 2(x - 5) - (- 4)(y - 4) = 0 ⇔ - 2 x + 10 + 4 y - 16 = 0 ⇔ - 2 x + 4 y - 6 = 0
Δc : a pour équation cartésienne ; - 2 x + 4 y - 6 = 0
1.2 déterminer de même une équation cartésienne de la médiane ΔB issue du point B
J milieu de (AC) donc J(2 ; 7/2)
soit N(x ; y) ∈ ΔB tel que les vecteurs BN et BJ soient colinéaires
vec(BN) = (x - 3 ; y - 1)
vec(BJ) = (- 1 ; 5/2)
dét(vec(BN) ; vec(BJ)) = 0 ⇔ 5/2(x - 3) + (y - 1) = 0
⇔ 5/2) x - 15/2 + y - 1 = 0 ⇔ 5 x + 2 y - 17 = 0
ΔB : a pour équation cartésienne : 5 x + 2 y - 17 = 0
1.3 déduire les coordonnées exactes de G = ΔB ∩ Δc
Δc : a pour équation réduite y = 1/2) x + 3/2
ΔB : y = -5/2) x + 17/2
1/2) x + 3/2 = -5/2) x + 17/2 ⇔ 1/2) x + 5/2)x = 17/2 - 3/2
⇔ 3 x = 7 ⇔ x = 7/3
y = 1/2)*7/3 + 3/2 = 8/3
les coordonnées de G sont : (7/3 ; 8/3)
1.4 A l'aide des coordonnées vérifier que l'on a bien
vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = 0
vec(GA) = (- 1-7/3 ; 3-8/3) = (- 10/3 ; 1/3)
vec(GB) = (3-7/3 ; 1-8/3) = (2/3 ; - 5/3)
vec(GC) = (5-7/3 ; 4-8/3) = (8/3 ; 4/3)
.......................
= (0 ; 0)
Explications étape par étape :