Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = √[ (x+3)/(2x-4) ]
■ 1° début) pour éviter le dénominateur nul, il faut
retirer 2 de l' ensemble de définition !
■ 1° suite) étude du signe de (x+3)/(2x-4) :
x --> -∞ -3 +2 +∞
(x+3) --> - 0 + +
(2x-4) -> - - ║ +
quotient -> + 0 - ║ +
Domaine de définition = ] -∞ ; -3 ] U ] +2 ; +∞ [
■ 2°) dérivée f ' (x) :
f ' (x) = 0,5 (2x-4-2x-6) / { (2x-4)² * √[ (x+3)/(2x-4) ] }
= 0,5 (-10) / { (2x-4)² * √[ (x+3)/(2x-4) ] }
= -5 / { (2x-4)² * √[ (x+3)/(2x-4) ] }
f ' (x) est donc TOUJOURS négative
Domaine de dérivabilité = ] -∞ ; -3 [ U ] +2 ; +∞ [
( on enlève " -3 " au Domaine de définition ! )
■ 3 et 4°) tableau et Limites :
x --> -∞ -4 -3 +2 2,1 +3 +∞
varia -> décroissante ║XXXX║ décroissante
f (x) --> 0,7 ≈0,3 0 XXXX║+∞ 5 √3 √0,5≈0,7
■ 5°) les deux asymptotes sont :
- l' horizontale d' équation y = 0,5√2
- la verticale d' équation x = 2
remarque :
la Courbe est sous l' asymptote horizontale du côté des négatifs < -3
La Courbe est au-dessus de l' asymptote horiz pour x > +2
■ 6a) Lim [ f(-3+h) - f(-3) ] / h = Lim √[h/(2h-10)] / h
= Lim √[1 / h(2h-10)]
= Lim √[-0,1/h]
= +∞
■ 6b) on peut vérifier que la Courbe aborde le point (-3 ; 0)
de façon "verticale"
