Réponse :
Solution = { -3 ; +1 }
Explications étape par étape :
■ (x²+2x)² + 6(x²+2x) - 27 = 0 donne
x4 + 4x³ + 4x² + 6x² + 12x - 27 = 0
donc
x4 + 4x³ + 10x² + 12x - 27 = 0
■ x = 1 est une racine évidente ! ☺
donc
x4 + 4x³ + 10x² + 12x - 27 = 0 donne
(x-1) (x³ + ax² + bx + 27) = 0
développons :
x4 + ax³ + bx² + 27x - x³ - ax² - bx - 27 = 0
donc
x4 + (a-1)x³ + (b-a)x² + (27-b)x - 27 = 0
par identification :
a = 5 et b = 15 .
■ résolvons (x-1) (x³ + 5x² + 15x + 27) = 0
x = 1 est la première racine évidente
x = -3 est l' autre racine ( moins évidente certes ! ☺ )
■ Solution = { -3 ; +1 } .
■ ■ méthode du changement de variable :
soit X = x² + 2x
on doit alors résoudre X² + 6X - 27 = 0
(X + 3)² - 36 = 0
(X + 3)² - 6² = 0
(X+3 - 6) (X+3 + 6) = 0
(X - 3) (X + 9) = 0
X = 3 ou X = -9
X = 3 donne x² + 2x = 3 donc x² + 2x - 3 = 0
donc (x-1) (x+3) = 0
d' où x = 1 ou x = -3 .
X = -9 donne x² + 2x = -9 donc x² + 2x + 9 = 0
pas de racine réelle car le discriminant est négatif !!
