Réponse :
1) déterminer graphiquement les coordonnées du point M pour que la distance AM soit minimale
M(1.5 ; 1.7)
2) a) montrer que pour tout x ≥ 0 ; g(x) = √(x² - 3 x + 4)
g(x) = AM
M(x ; f(x)) ⇔ M(x ; √x)
vec(AM) = (x - 2 ; √x) ⇒ AM² = (x - 2)² + (√x)² = x² - 4 x + 4 + x or x ≥ 0
AM² = x² - 3 x + 4 ⇔ AM = √(x² - 3 x + 4) donc g(x) = √(x² - 3 x + 4)
b) justifier que g est définie et dérivable sur [0 ; + ∞[
x² - 3 x + 4 ≥ 0
Δ = 9 - 16 = - 7 < 0 pas de racines donc g(x) ≥ 0 car a > 0
comme g(x) = AM la distance est toujours positive
le polynôme x² - 3 x + 4 est dérivable sur R et √(x² - 3 x + 4) est dérivable dans son ensemble de définition c'est à dire [0 ; + ∞[
g '(x) = (√u)' = u'/2√u
u = x² - 3 x + 4 ⇒ u' = 2 x - 3
g '(x) = (2 x - 3)/2√(x² - 3 x + 4)
c) en déduire les variations de g
x 0 3/2 + ∞
2 x - 3 - 0 +
g(x) 2 →→→→→→→→→→→ 7/4 →→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
Explications étape par étape :
