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Bonjour,
1) A est de taille [tex]2 \times 2[/tex], donc son polynôme caractéristique s'écrit :
[tex]\chi_A=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det(A)=X^2-tX+1[/tex].
Si [tex]t \not \in \{-2,2\}[/tex], alors le polynôme caractéristique est scindé à racines simples sur [tex]\mathbb{C}[/tex] car son discriminant vaut [tex]\Delta=t^2-4 \not =0[/tex].
Ainsi, A est diagonalisable.
2) Prenons la matrice [tex]A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right)[/tex], qui est bien de trace 2 et de déterminant 1.
Alors A possède pour unique valeur propre 1, et l'espace propre associé a pour dimension 1, car, pour [tex]X=\left(\begin{tabular}{c}$x$ \\$y$ \end{tabular}\right)[/tex] :
[tex]AX=X \iff \left \{ {{x=\lambda \in \mathbb{C}} \atop {y=0}} \right.[/tex].
Ainsi, A n'est pas diagonalisable.
3) Les valeurs propres de A sont les racines de son polynôme caractéristique, qui sont, puisque [tex]-2<t<2[/tex] :
[tex]\lambda=\dfrac{t+\mathrm{i}\sqrt{4-t^2}}{2}; \; \mu=\dfrac{t-\mathrm{i}\sqrt{4-t^2}}{2}[/tex].
Alors :
- Si v est associé à [tex]\lambda[/tex], pour tout n : [tex]A^n v=\lambda^nv=\left(\frac{t+\mathrm{i}\sqrt{4-t^2}}{2}\right)^n v[/tex].
Or : [tex]\left|\frac{t+\mathrm{i}\sqrt{4-t^2}}{2}\right|=\sqrt{\frac{t^2}{4}+\frac{4-t^2}{4}}=1[/tex],
donc : [tex]|A^nv|_i \le |v|_i \le \max{|v|_1,|v|_2}[/tex] pour [tex]i \in \{1,2\}[/tex]
- Si v est associé à [tex]\mu[/tex], le raisonnement est identique car [tex]|\mu|=|\lambda|[/tex].
4) Dans ce cas, A est diagonalisable, donc il existe une base [tex](v_1,v_2)[/tex] de vecteurs propres, où [tex]v_1[/tex] est associé à [tex]\lambda[/tex] et [tex]v_2[/tex] à [tex]\mu[/tex].
Soit [tex]x \in \mathbb{C}^2[/tex], alors il existe [tex](c_1,c_2) \in \mathbb{C}^2[/tex] tq : [tex]x=c_1v_1+c_2v_2[/tex] (puisque [tex](v_1,v_2)[/tex] est une base).
Alors, pour tout entier n :
[tex]A^nx=c_1A^nv_1+c_2A^nv_2[/tex].
Par la question précédente, il existe un couple [tex](M_1,M_2)[/tex] tq : [tex]\forall n \in \mathbb{N}, \forall i \in \{1,2\}, |A^nv_1|_i \le M_1 \text{ et } |A^nv_2|_i\le M_2[/tex].
Alors :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, |A^nx| \le c_1 M_1+c_2M_2[/tex] et, le majorant étant indépendant de n, [tex]\boxed{\text{$A^nx$ est born\'e quand $n \to +\infty$.}}[/tex]
