Bonjour,
Exo 5
1)
a > 0
[tex]a+\dfrac{1}{a}\geq 2<=> a^2+1\geq 2a<=>a^2-2a+1\geq 0<=>(a-1)^2\geq 0[/tex]
Donc c'est vrai.
2)
Etape 1 - pour n = 0 c'est vrai car
[tex](2*0+1)a^0=1\leq 1[/tex]
Etape 2 - supposons que cela soit vrai au rang k
Alors
[tex](2k+3)a^{k+1}=((2k+1)a^k)\times a +2a^{k+1}[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence il vient
[tex](2k+3)a^{k+1}=((2k+1)a^k)\times a +2a^{k+1}\leq a(1+a+...+a^{2k})+2a^{k+1}[/tex]
et nous voulons montrer que
[tex](2k+3)a^{k+1}\leq 1+a+...+a^{2k}+a^{2k+1}+a^{2k+2}\\\\ \text{Or} \\ \\1+a+...+a^{2k}+a^{2k+1}+a^{2k+2}-[a(1+a+...+a^{2k})+2a^{k+1} ]\\\\=1+a^{2k+2}-2a^{k+1}\\\\=(a^{k+1}-1)^2\geq 0[/tex]
Donc c'est vrai au rang k+1
Etape 3 - conclusion, nous venons de démontrer que la relation (1) est vraie.
3)
Utilisons le résultat du 1) en mettant [tex]a^n[/tex] en facteur
[tex]1+a+a^2+....+a^n+....+a^{2n}\\ \\=a^n(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{a^{n-1}}+....+1+a+...+a^{n-1}+a^n)\geq a^n(1+2n)[/tex]
car
[tex]\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{a^k}+a^k)\geq 1+\sum_{k=1}^{n} (2)=2n+1[/tex]
Exercice 7
le 1) n'est que la somme des termes d une suite géométrique de premier terme 1 et de raison a > 0
par récurrence, ça donne
vrai au rang n = 1
1=(1-a)/(1-a)=1
Supposons le au rang k
[tex]1+a+...+a^{n-1}+a^n=\dfrac{1-a^{n}}{1-a}+a^n=\dfrac{1-a^n+a^n-a^{n+1}}{1-a}=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}[/tex]
donc c'est vrai au rang k+1
Conclusion, c'est vrai pour tout n
Merci
