Bonjour,
Déjà nous pouvons regarder ce qu'il se passe quand m = 0
ça donne une équation du premier degré
(0+1)x-1=0<=> x=1
Il y a donc une solution.
Maintenant, prenons m différent de 0 et comme tu ne connais pas le discriminant on va faire autrement, en remarquant que
[tex](x+\dfrac{m+1}{2m})^2=x^2+\dfrac{m+1}{m}x+\dfrac{(m+1)^2}{4m^2}[/tex]
Donc nous pouvons écrire
[tex]mx^2+(m+1)x-1=0\\ \\<=> m\left( x^2+\dfrac{m+1}{m}x\right)-1=0 \\\\<=> m\left( (x+\dfrac{m+1}{2m})^2-\dfrac{(m+1)^2}{4m^2} \right)=1 \\ \\<=> m(x+\dfrac{m+1}{2m})^2=1+\dfrac{(m+1)^2}{4m}\\ \\<=> (x+\dfrac{m+1}{2m})^2=\dfrac{4m+(m+1)^2}{4m^2}[/tex]
Il faut donc étudier le signe de [tex]4m+(m+1)^2=m^2+6m+1[/tex]
[tex]m^2+6m+1=0 \\\\(m+3)^2-9+1=0 \\ \\(m+3)^2=8 \\\\m=-3\pm2\sqrt{2}[/tex]
Et l'expression est négative entre les racines et positive ailleurs donc
En conclusion,
pour [tex]m \in ]-3-2\sqrt{2};-3+2\sqrt{2}[[/tex] il n'y a pas de solutions
pour [tex]m=-3\pm2\sqrt{2}[/tex], et m = 0 il y a une solution
Sinon il y a deux solutions
Merci
