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4p⁴ + 1 = 4p⁴ + 4p² + 1 - 4p²
4p⁴ + 1 = (2p²+1)²-(2p)²
4p⁴ + 1 = (2p²+1-2p)(2p²+1+2p)
4p⁴ + 1 n'est pas premier si 2p²-2p+1 ≠ 1 et si 2p²+2p+1≠1 ce qui est vérifié pour p > 1 :
2p²-2p+1 = 2(p-0,5)²+0,5
p >1
p-0,5 > 0,5
(p-0,5)² > 0,25
2(p-0,5)² > 0,5
2(p-0,5)²+0,5 > 1
2p²+2p+1 = 2(p+0,5)²+2,5
p > 1
p+0,5 > 1,5
2(p+0,5)² + 2,5 > 7
donc 4p⁴+ 1 n'est pas premier avec p entier naturel strictement supérieur à 1.
