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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
f(x) = ax + b
af(x) = a²x + ab (on multiplie par le coef directeur)
bf(x) = abx + b² (on multiplie par l'ordonnée à l'origine)
On sait que les courbes représentatives de af(x) et de bf(x) passent par le point de coordonnées (1 ; 4)
donc af(1) = 1a² + ab = a² + ab = 4
et b(f1) = 1ab + b² = ab + b² = 4
utilisons la 1ère équation pour exprimer b en fonction de a
a² + ab = 4 ⇔ ab = 4 - a² ⇔ b = (4 - a²)/a
remplaçons b dans la 2ème équation
ab + b² = 4 ⇔ a[(4-a²)/a] + [(4-a²)/a]² - 4 = 0
⇔ (4a - a³)/a + (16 - 8a² + a^4)/a² - 4a²/a² = 0
⇔ (4a² - a^4 + 16 - 8a² + a^4 - 4a²)/a² = 0
⇔ 16 - 8a² = 0 ⇔ 8a² = 16 ⇔ a² = 2
a = √2 ou a = -√2
On sait que f est décroissante, donc a = -√2
On a donc a² + ab = 4 ⇔ (-√2)² + (-√2)b = 4
⇔ (-√2)b = 2 ⇔ b = 2/(-√2) = -√2
Au final , f(x) = (-√2)x - √2
On peut vérifier que af(x) = (-√2)(-√2x -√2) = 2x +2
et 2×1 +2 = 4 donc le point de coordonnées (1 ; 4) est bien sur cette courbe
