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Soit Un, la suite definie par U0=1 et pour tout naturel n, U(n+1)= (3Un +2)/4 1) Démontrer par récurrence que pour tout n, 0<Un<2 . Je l'ai fait mais à la fin je trouve 1/2<Un<2 2)Démontrer par récurence que, pour tout n, Un=2-0,75^n Là , j'ai aucune piste .
initialisation: Uo= 1 0<1<2 P vraie au 1er rang Hypothèse de récurrence 0< Uk < 2 0<3Uk<6 2<3Uk+2<8 1/2<(3Uk+2)/4<2 à fortiori 0<1/2<Uk+1<2 0<Uk+1<2 Conclure
Pour le 2 : Uo=1= 2 - 0,75^¨0 = 2 - 1 = 1 P vraie au premier rang On suppose que pour k entier fixé et quelconque on ait Uk= 2- 0,75^k 3Uk=3 x (2 - 0,75^k) = 6 - 3 x 0.75 ^k 3Uk+2 = 8 - 3 x 0,75^k (3Uk+2)/4= 2 - 3/4 x 0,75^k = 2 - 0,75^k+1 Uk+1 = 2 - 0,75^k+1 Ce qui montre que la propriété est héréditaire Conclure
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